العمليات على كثيرات الحدود | شرح تفصيلي

العمليات على كثيرات الحدود أو كما يطلق عليها في اللغة الإنجليزية اسم Polynomials هي ما يهتم موقع شام بوست- cham-post.com بتوضيح المعنى الخاص بها والذي يتضمن أهم العمليات التي تتم من خلالها وما هي الأجزاء التي تتكون منها، هذا بالإضافة إلى عرض العديد من الأمثلة الدالة عليها والتي تبين كيف يتم إيجاد الحلول المناسبة لكل مسألة متعلقة بها، كما سوف يتم سرد الخطوات اللازمة لتحديد درجة كثيرات الحدود.

العمليات على كثيرات الحدود

قبل البدء في التعرف على العمليات على كثيرات الحدود يجب أن يتم تحديد التعريف الدقيق لها والذي يتمثل في التالي:

• يتم تعريفها على أنها العمليات الرياضية التي تتكون من عدة متغيرات ومعاملات والتي يطلق عليها اسم الثوابت.^[1]
• هذا بالإضافة إلى احتوائها على الكثير من عمليات الطرح والجمع والقسمة والضرب.
• كما أنها تعد جزء هام من علم الرياضيات والتي يتم الاستعانة بها في مختلف أنواع المجالات الرياضية بهدف استخدامها للتعبير عن الأرقام التي تنتج عن العمليات الرياضية.
• أهم الأمثلة عليها هي التالي: 3س2-2 س+5، س+3.

اقرأ أيضاً: بحث رياضيات جاهز للطباعه

العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

نوفر فيما يلي العديد من الأمثلة على العمليات على كثيرات الحدود والتي تتضمن كل من عمليات الجمع والطرح والضرب:

جمع كثيرات الحدود

• تبدأ العمليات على كثيرات الحدود التي تخص الجمع من خلال جمع الحدود المتشابهة معًا.^[2]
• الحدود المتشابهة هي ذات نفس المتغيرات والأسس مع اختلاف معاملاتها عن بعضها البعض.
• أهم الأمثلة على ذلك س، و 7 س، و-2س هي ذات حدود متشابهة معاملات مختلفة.
• أما بالنسبة للحدود المختلفة فأهم الأمثلة عليها هي التالي: 2 س، 2 س ص، 2ص، 2س2، 4.
• ناتج جمع 2س2+6س+5 مع 3س2-2س-1 يتم من خلال كتابة ترتيب الحدود كما في التالي: 2س2+6س+5+3س2-2س-1 ثم وضع الحدود المتشابهة معًا (2س2+3س2) + ( 6س-2س) + (5-1)، ثم جمع الحدود المتشابهة (2+3)س2+(6-2)س+(5-1) =5س2+4س+4.

طرح كثيرات الحدود

• يتم طرح كثيرات الحدود بنفس طريقة جمعها.
• أهم الأمثلة على ذلك هي التالي: ناتج طرح  (5ص² + 2 س ص -9) – (2ص² + 2 س ص – 3) يتم من خلال التخلص من الأقواس ثم توزيع إشارة الطرح على محتويات القوس الثاني ثم جمع الحدود المتشابهة: 5ص² + 2 س ص -9 -2ص² -2س ص+3 = 5ص²-2ص² + 2 س ص-2 س ص -9+3 = (5-2)ص²+0-6 = 3ص²-6.

ضرب كثيرات الحدود

• تبدأ عملية ضرب كثيرات الحدود من خلال توزيع كل حد من حدود كثيرات الحدود الأولى على كل حد من حدود كثيرات الحدود الثاني.
• يلي ذلك القيام بعملية جمع كثيرات الحدود.
• يجب مراعاة ضرب المعاملات معًا ثم جمع الأسس.
• أهم الأمثلة على ذلك هي ناتج ضرب (3س-4ص)×(5س-2ص) يكون من خلال جمع الحدود المتشابهة معًا =15س2-26س ص+8ص2.

اقرأ أيضاً: فوائد الرياضيات للعقل

أجزاء كثيرات الحدود

تشتمل العمليات على كثيرات الحدود العديد من الأجزاء المكونة لكثيرات الحدود وأهمها هو ما يوضحه الجدول التالي:

تصنيف كثيرات الحدود

عند الرغبة في التعامل مع مختلف أنواع العمليات على كثيرات الحدود يجب أن يتم التعرف على تصنيف كثيرات الحدود والذي يتم من خلال طريقتين هما التالي:

عدد الحدود

تقسم كثيرات الحدود تبعًا إلى عدد الحدود إلى التالي:

• أحادي الحد، وهي التي تحتوي على حد واحد فقط مثل: 8س.
• ثنائي الحدود، وهي التي تحتوي على حدين فقط مثل: 3س-4.
• ثلاثي الحدود، وهي التي تحتوي على ثلاثة حدود فقط  مثل: 4س2+5س-2.
• هذا بالإضافة إلى تسمية كثيرات الحدود بعد ذلك بعدد الحدود التي تحتوي عليها.

الدرجة

• يتم تحديدها من خلال قيمة أس المتغير الموجود في كثيرات الحدود.
• أما في حالة وجود أكثر من قيمة متغيرة للأس يتم جمعها وتحديد الدرجة.
• تتساوى درجة كثيرات الحدود مع درجة الحد الأعلى من الحدود المكونة لها.
• أهم الأمثلة عليها التالي:
  • 5 س4+3س3+ 9س 2 درجة الحد هي 4.
  • درجة الحد 3س3 هي 3.
  •  درجة الحد 9س2 هي 2.
  • درجة كثير الحدود 6ص3+3س ص+9 هي 3.
  • درجة الحد 3 س ص هي 2
  •  درجة الحد 9 هي صفر.
• أما بالنسبة لكثيرات الحدود ذات الدرجة الصفرية يتم إطلاق عليها اسم الثابت، وذلك لأن قيمة الثابت لها لا تتغير وعليه يتم استخدامها في وصف الكميات غير المتغيرة.
• يتم تعريف كثيرات الحدود من الدرجة الأولى باسم الحدود الخطي، لذلك يتم استخدامها في وصف الكميات المتغيرة بمعدل ثابت وذلك في المسائل الهندسية المرتبطة بالبعد الواحد ومنها الطول.
• يتم تعريف كثيرات الحدود من الدرجة الثانية باسم كثيرات الحدود التربيعي، ويتم استخدامها في المسائل الهندسية المرتبطة بالأبعاد الثنائية ومنها المساحة.

اقرأ أيضاً: معلومات عن الرياضيات

الصورة القياسية لكتابة كثيرات الحدود

يتم كتابة العمليات على كثيرات الحدود في صورة قياسية نحرص على التعرف عليها بشكل دقيق من خلال السطور القليلة القادمة:

• تتم كتابة كثيرات الحدود من خلال البدء بالحد ذو الدرجة الأعلى.
• يلي ذلك التأكد من القيام بعملية ترتيب الحدود فى صورة تنازلية.

تعرفنا على العمليات على كثيرات الحدود التي تتضمن كل من عملية الضرب والطرح والجمع، هذا بالإضافة إلى التعرف على أهم مكوناتها وما هي طريقة تحديد درجاتها وكتابتها في صورتها القياسية.